Question

（本题满分15分）过点作直线与抛物线相交于两点，圆

（Ⅰ）若抛物线在点处的切线恰好与圆相切，求直线的方程；

（Ⅱ）过点分别作圆的切线，试求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（I）直线的方程为：.（Ⅱ）的取值范围是.

【解析】本试题主要是考查了直线与抛物线于圆与直线的位置关系的综合运用。以及导数的几何意义的运用，以及勾股定理的综合运用。

（1）利用导数的几何意义表示切线方程，以及直线与圆相切，则圆心到直线的距离为圆的半径可以得到结论。

(2)设出直线与抛物线联立方程组，结合

和韦达定理得到坐标关系，然后求解取值范围。

解：设

由，得过点的切线方程为：

，即                    （3分）

由已知：，又，                            （5分）

，

即点坐标为，                                         （6分）

直线的方程为：.                                   （7分）

（Ⅱ）由已知，直线的斜率存在，则设直线的方程为：，       （8分）

联立，得 

                                            （9分）

  解法一： （12分）

                                                                 （13分）

＝               （15分）

解法二：      （12分）

                                   （13分）

                                                       （15分）

解法三：, 

         

同理，                                      （13分）

故的取值范围是.                      （15分）