Question

17．数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2）．
（1）若b_n=a_n-2，求证：{b_n}为等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$计算即得结论；
（2）通过b_n=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即得结论；
（3）通过a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），
∴a_n≠2，即b_n≠0，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$，
又∵a₁=1，∴b₁=a₁-2=-1，
∴数列{b_n}是以-1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：∵b_n=-1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=2+b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（3）解：∵a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=2n-（$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=2n-$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=2n-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．