Question

9．如图，四边形ABCD中，AB=2，AD=1，三角形BCD为正三角形．
（1）当∠BAD=$\frac{π}{3}$时，设$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，求x，y的值；
（2）设∠BAD=α，则当α为多少时，四边形ABCD的面积S最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE∥AD交AB于点E，在△BCE中，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=$\frac{π}{2}$，CE=2，BE=1，AE=1，可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$，即可求x，y的值；
（2）求出BD，表示出面积，即可求得四边形ABCD的面积S最大．

解答 解：（1）在△ABD中，∵AB=2，AD=1，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$，∠ABD=$\frac{π}{6}$，∠ADB=$\frac{π}{2}$，∠ABC=$\frac{π}{2}$，∠ADC=$\frac{5π}{6}$，
过点C作CE∥AD交AB于点E，在△BCE中，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=$\frac{π}{2}$，
∴CE=2，BE=1，
∴AE=1，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$，
∴x=$\frac{1}{2}$，y=2；
（2）在△ABD中，由余弦定理可得BD=$\sqrt{5-4cosα}$，
∴S_△ABD=sinα，S_△BDC=$\frac{\sqrt{3}}{4}B{D}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosα），
∴S=sinα-$\sqrt{3}$cosα+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，α∈（0，π），
∴S_max=2+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，此时α=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查向量在几何中的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．