Question

15．在△ABC中，sin²C≤（sinA-sinB）²+sinAsinB，则C的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，π）
• C． （0，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，π）

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的不等式变形后代入表示出的cosC中，得出cosC的范围，由C为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出C的取值范围．

解答 解：利用正弦定理化简sin²C≤（sinA-sinB）²+sinAsinB，
即sin²C≤sin²A+sin²B-sinAsinB，
得：c²≤a²+b²-ab，
变形得：b²+a²-c²≥ab，
∴cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又C为三角形的内角，
则C的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．
故选C．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．