Question

（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

   （Ⅰ）求证：直线BC₁//平面AB₁D；

   （Ⅱ）求二面角B₁—AD—B的大小；

   （Ⅲ）求三棱锥C₁—ABB₁的体积.

Answer 1

（Ⅰ）证明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四边形BDB₁C₁是平行四边形， ∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直线BC₁//平面AB₁D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁， ∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

 

∴∠B₁EB是二面角B₁—AD—B的平面角，  ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点，

在Rt△B₁BE中，∴∠B₁EB=60°。即二面角B₁—AD—B的大小为60°…………10分

（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF= 

 即三棱锥C₁—ABB₁的体积为…………15分

   解法二：在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

        即为三棱锥C₁—ABB₁的体积．