Question

下列几种说法正确的是

①③⑤

（将你认为正确的序号全部填在横线上）
①函数y=cos(

π

4

-3x)的递增区间是[-

π

4

+

2kπ

3

，

π

12

+

2kπ

3

]，k∈Z；
②函数f（x）=5sin（2x+?），若f（a）=5，则f(a+

π

12

)＜f(a+

5π

6

)；
③函数f(x)=3tan(2x-

π

3

)的图象关于点(

5π

12

，0)对称；
④将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin2x的图象；
⑤在同一平面直角坐标系中，函数y=sin(

x

2

+

3π

2

)(x∈[0，2π])的图象和直线y=

1

2

的交点个数是1个．

Answer 1

分析：对于①，函数的解析式即y=cos（3x-

π

4

），由 2kπ-π≤3x-

π

4

≤2kπ，k∈z，求得它的增区间，比较可得①正确．
对于②，由于x=a 是函数的对称轴，且函数的周期等于π，可得 f(a+

π

12

)＞f(a+

5π

6

)，故②不正确．
对于③，由于点(

5π

12

，0)在函数图象上，结合图象可得函数图象关于点(

5π

12

，0)对称，故③正确．
对于④将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin(2x-

π

3

) 的图象，故④不正确．
对于⑤由y=sin(

x

2

+

3π

2

)=-cos

x

2

，画出y=-cos

x

2

，x∈[0，2π]的图象，显然图象和y=

1

2

 只有1个交点，
故⑤正确．

解答：解：对于①函数y=cos(

π

4

-3x)=cos（3x-

π

4

），由 2kπ-π≤3x-

π

4

≤2kπ，k∈z，
解得 -

π

4

+

2kπ

3

≤x ≤

π

12

+

2kπ

3

，k∈z．
故函数的递增区间是 [-

π

4

+

2kπ

3

，

π

12

+

2kπ

3

]  ，k∈Z，故①正确．
对于②函数f（x）=5sin（2x+?），若f（a）=5，故x=a 是函数的对称轴，且函数的周期等于π，
故函数在[a-

π

2

，a+

π

2

]上是单调增函数．
∵f(a+

π

12

)=f(a-

π

12

)，f(a+

5π

6

) =f(a-

π

6

)，a-

π

6

＜a-

π

12

，
∴f（ a-

π

6

 ）＜f（ a-

π

12

 ），即 f(a+

π

12

)＞f(a+

5π

6

)，故②不正确．
对于③函数f(x)=3tan(2x-

π

3

)，由于点(

5π

12

，0)在图象上，结合图象可得函数图象关于点(

5π

12

，0)对称，
故③正确．
对于④将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=sin(2x-

π

3

) 的图象，
故④不正确．
对于⑤∵y=sin(

x

2

+

3π

2

)=-cos

x

2

，x∈[0，2π]，画出y=-cos

x

2

，x∈[0，2π]的图象，显然图象和y=

1

2

 
只有1个交点，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评：本题主要考查三角函数的对称性和单调性，以及函数图象的变换，三角函数的内容比较琐碎，要记忆的比较多，平时要注意公式的记忆和基础知识的积累，掌握基本知识是解好这类题目的关键．