Question

已知幂函数f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)
（1）若f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是减函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据幂函数f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)在（0，+∞）上是增函数，可以得到

3

2

+k-

1

2

k2＞0，再根据f（x）为偶函数，即可求得k的值，从而求得f（x）的解析式；
（2）根据f（x）在（0，+∞）上是减函数，可以得到

3

2

+k-

1

2

k2＜0，求解即可得到实数k的取值范围．

解答：解：（1）幂函数f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)，
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴

3

2

+k-

1

2

k2＞0，
解得-1＜k＜3，
又∵k∈Z，
∴k=0，1，2，
∵f（x）为偶函数，
①当k=0时，

3

2

+0-

1

2

×02=

3

2

，f（x）为奇函数，不符合题意；
②当k=1时，

3

2

+1-

1

2

×12=2，f（x）为偶函数，符合题意；
③当k=2时，

3

2

+2-

1

2

×22=

3

2

，f（x）为奇函数，不符合题意．
∴k=1，
f（x）=x²；
（2）∵幂函数f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)，
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴

3

2

+k-

1

2

k2＜0，
解得k＜-1或k＞3（k∈Z），
∴k的取值范围为{k∈Z|k＜-1或k＞3}．

点评：本题考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，幂函数的图象及其与指数的关系，幂函数的性质，函数解析式的求解及常用方法．对于幂函数的问题，关键是正确的画出幂函数的图象，根据幂函数在第一象限的图形，结合幂函数的定义域、奇偶性，即可画出幂函数的图象，应用图象研究幂函数的性质．对于求函数解析式的方法，一般有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行选择合适的方法．属于基础题．