Question

已知幂函数f(x)=xm2-2m-3（m∈Z）的图象与x轴、y轴无公共点且关于y轴对称．
（1）求m的值；
（2）画出函数y=f（x）的图象（图象上要反映出描点的“痕迹”）．

Answer 1

分析：（1）幂函数f(x)=xm2-2m-3（m∈Z）的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明指数数为偶函数，由此求得整数m的值．
（2）根据（1）中结论写出幂函数的解析式，画出函数y=f（x）的图象．

解答：解：（1）由于幂函数f(x)=xm2-2m-3（m∈Z）的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，
且m²-2m-3=（m-3）（m+1）为非正的偶数．
由m²-2m-3≤0可得-1≤m≤3，即  m=-1、0、1、2，3．
再由m²-2m-3为偶数，可得m=-1、1、3．
（2）当m=-1或3时，f（x）=x⁰；
当m=1时，f（x）=x^-4；
图象如图所示．

点评：此题很好的考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．