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已知点F1,F2为椭圆
x2
2
+y2=1
的两个焦点,点O为坐标原点,圆O是以F1,F2为直径的圆,一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)设b=f(k),求f(k)的表达式;
(2)若
OA
OB
=
2
3
,求直线l的方程;
(3)若
OA
OB
=m,(
2
3
≤m≤
3
4
)
,求三角形OAB面积的取值范围.
∵c=1且直线与圆O相切∴
|b|
1+k2
=1
∵b>0,∴b=
1+k2

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由
y=kx+b
x2
2
+y2=1
,消去y得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0
△=8k2>0(Qk≠0),x1+x2=-
4kb
2k2+1
x1x2=
2b2-2
2k2+1

OA
OB
=x1x2+y1y2=
k2+1
2k2+1

OA
OB
=
2
3
,∴k2=1,b2=2.
b>0
,∴b=
2

直线l的方程为:y=±x+
2

(3)由(2)知:
k2+1
2k2+1
=m.Q
2
3
≤m≤
3
4
,∴
2
3
k2+1
2k2+1
3
4
,∴
1
2
k2≤1

由弦长公式得|AB|=
k2+1
2
k2
2k2+1
,所以S=
1
2
|AB|=
2k2(k2+1)
2k2+1

解得∴
6
4
≤S≤
2
3
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,F1,F2为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率e=
3
2
S△DEF2=1-
3
2
.若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N(
x0
a
y0
b
)称为点M的一个“椭点”.直线l与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭点”分别为P,Q,已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)△AOB的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为定值,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•崇明县二模)已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭C:数学公式(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2数学公式,且∠BF1F2=数学公式
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,数学公式)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源:崇明县二模 题型:解答题

已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源:2013年上海市崇明县高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知椭C:(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2,且∠BF1F2=
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.

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