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已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.
(1)∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

∴2a+2c=4+2
3
3
2
a=c

∴a=2,c=
3

b=
a2-c2
=1

∴椭圆方程为
x2
4
+y2=1

(2)当直线l的斜率不存在时,过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB不被点Q平分;
当直线l的斜率为k时,l:y-
1
2
=k(x-1)与椭圆方程联立,消元可得(1+4k2)x2-4k(2k-1)x+(1-2k)2-4=0
∵过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,
4k(2k-1)
1+4k2
=2

∴解得k=-
1
2

1
4
+
1
4
<1

∴点Q在椭圆内
∴直线l:y-
1
2
=-
1
2
(x-1),即l:y=-
1
2
x+1.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且△PF1F2的周长为4+2
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l是圆O:x2+y2=
4
3
上动点P(x0,y0)(x0-y0≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,椭圆的短轴端点与双曲线
y2
2
-x2
=1的焦点重合,过P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•崇明县二模)已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2为顶点的三角形周长是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点Q(1,
1
2
)引曲线C的弦AB恰好被点Q平分,求弦AB所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且△PF1F2的周长为4+2
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l是圆O:x2+y2=
4
3
上动点P(x0,y0)(x0-y0≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.

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