Question

已知椭C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF₁F₂的周长为4+2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x²+y²=

4

3

上动点P（x₀，y₀）（x₀-y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

Answer 1

（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=

2

c，
又因为△PF₁F₂的周长为4+2

2

，所以a+c=2+

2

，所以c=

2

，
所以a=2，b=

2

，所以所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）证明：直线的l方程为x0x+y0y=

4

3

，且x₀²+y₀²=

4

3

，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
联立方程

x2 4 + y2 2 =1 x0x+y0y= 4 3

，消去y得（

y

20

+2

x

20

）x²-

16

3

x0x+

32

9

-4

y

20

=0，
∴x₁+x₂=

16 3 x0

y 20 +2 x 20

，x₁x₂=

32 9 -4 y 20

y 20 +2 x 20

，…（8分）
∴y1y2=

1

y 20

(

4

3

-x0x1)(

4

3

-x0x2)=

16 9 -4 x 20

y 20 +2 x 20

，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=

32 9 -4 y 20

y 20 +2 x 20

+

16 9 -4 x 20

y 20 +2 x 20

=0
∴∠QOR=90°为定值．                                            …（13分）