设数列
的各项均为正数，其前n项的和为
，对于任意正整数m,n, 
恒成立.
(Ⅰ)若
=1,求
及数列的通项公式;
(Ⅱ)若
,求证:数列是等比数列.
(Ⅰ) 
，
，
；(Ⅱ)参考解析
【解析】
试题分析：(Ⅰ)通过令
，可求得
.同理可以求出
.由于所给的等式中有两个参数m,n.所以以一个为主元，让另一个m=1,和m=2取特殊值通过消去
即可得到一个关于
与
的递推式.从而可求出
的通项式，从而通过
，可求出通项
.但前面两项要验证是否符合.
(Ⅱ)因为已知
，所以令
.即可求得
与
的关系式.再利用
.又得到了一个关于
与
的关系式.从而可得
与
的关系式.又根据
与
.可求出
.再根据及
.即可求出结论.最后要验证前两项是否成立.
试题解析：（1）由条件，得
①
在①中，令
，得
②
令
，得
③
③/②得
，记，则数列
是公比为
的等比数列。
④
时，
， ⑤
④-⑤，得
，当n≥3时，{
}是等比数列.
在①中，令
，得
，从而
，则
，所以
.
又因为
，所以 2分
在①中，令
，得
，则
⑥
在①中，令
，得
，则
⑦
由⑥⑦解得： 6分
则
，由
得
又，也适应上式，所以. 8分
（2）在①中，令
，得
，则
，所以
；
在①中，令
，得
，则
，所以
，则
，
；代入式，得 12分
由条件
得
又因
,所以
故
，
因为，也适应上式，所以
所以数列
是等比数列． 14分
考点：1.数列的递推思想.2.数列通项与前n项和的转化关系.3.归纳推理的思想.4.消元方程化简的能力.
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源：2012-2013学年山东省济宁市高三上学期期末模拟理科数学试卷（解析版） 题型：选择题
设数列
的各项均为正数，前
项和为
，对于任意的
，
成等差数列，设数列
的前项和为
，且
，则对任意的实数
（
是自然对数的底）和任意正整数，小于的最小正整数为（ ）
A．
B．
C．
D．
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科目：高中数学 来源：2014届江苏南通市高一下学期期中数学试卷（解析版） 题型：解答题
设数列
的各项均为正数.若对任意的
，存在
，使得
成立，则称数列为“Jk型”数列．
（1）若数列是“J2型”数列，且
，
，求
；
（2）若数列既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列是等比数列.
【解析】1）中由题意，得
，
，
，
，…成等比数列，且公比
，
所以．
（2）中证明：由{
}是“j4型”数列，得
，…成等比数列，设公比为t. 由{}是“j3型”数列，得
，…成等比数列，设公比为
；
，…成等比数列，设公比为
；
…成等比数列，设公比为
；
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年吉林省高三冲刺考试数学文卷 题型：解答题
（本小题满分12分）
设数列
的各项均为正数，若对任意的正整数
，都有
成等差数列，且
成等比数列．
（Ⅰ）求证数列
是等差数列；
（Ⅱ）如果
，求数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前错误！不能通过编辑域代码创建对象。项和。
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的各项均为正数，若对任意的正整数
，都有
成等差数列，且
成等比数列．
是等差数列；
，求数列
的前