Question

已知函数，
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)求证：当x＞1时，f(x)＞g(x)；
(3)如果x₁≠x₂，且f(x₁)=f(x₂)，求证：f(x₁)＞f(2-x₂)。

Answer 1

（1）解：∵，∴，
令f′(x)=0，解得x=1，
f(x)、f′(x)随x的变化情况见下表：

∴f(x)在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数；
∴当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=；　
（2）证明：令，
则，
当x＞1时，1-x＜0，2x＞2，从而＜0，
∴＞0，F(x)在（1，+∞）是增函数，
∴，故当x＞1时，f(x)＞g(x)。
（3）证明：∵f(x)在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，
∴当，且时，x₁、x₂不可能在同一单调区间内，
不妨设，
由（2）的结论知x＞1时，＞0，∴，
∵，
∴，
又，
∴。