(20)设f(x)是定义在[0, 1]上的函数.若存在x*∈(0.1).使得f(x)在[0, x*]上单调递增.在[x*.1]上单调递减.则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数.x*为峰点.包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0.1]上的单峰函数f(x).下面研究缩短其含峰区间长度的方法．(I)证明:对任意的x1.x2∈(0.1).x1＜x2.若f(x1)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（20）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（I）证明：对任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，则(0，x₂)为含峰区间；若f(x₁)≤f(x₂)，则(x₁，1)为含峰区间；

（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈(0，1)，满足x₂－x₁≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；

（III）选取x₁，x₂∈(0, 1)，x₁＜x₂，由（I）可确定含峰区间为(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x₂)的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

（20）（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

当f(x₁)≥f(x₂)时，假设x*(0, x₂)，则x₁<x₂≤x*，从而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

这与f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰区间.

当f(x₁)≤f(x₂)时，假设x*( x₁, 1)，则x*≤x₁<x₂，从而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

这与f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰区间.

（II）证明：由（I）的结论可知：

当f(x₁)≥f(x₂)时，含峰区间的长度为l₁＝x₂；

当f(x₁)≤f(x₂)时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁；

对于上述两种情况，由题意得

①

由①得 1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₂－x₁≤2r.

又因为x₂－x₁≥2r，所以

x₂－x₁=2r, ②

将②代入①得

x₁≤0.5－r, x₂≥0.5＋r， ③

由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r．

所以这时含峰区间的长度l₁＝l₂＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．

（III）解：对先选择的x₁，x₂，x₁<x₂，由（II）可知

x₁＋x₂＝1， ④

在第一次确定的含峰区间为(0, x₂)的情况下，x₃的取值应满足

x₃＋x₁＝x₂， ⑤

由④与⑤可得,

当x₁>x₃时，含峰区间的长度为x₁．

由条件x₁－x₃≥0.02，得x₁－(1－2x₁)≥0.02，从而x₁≥0.34．

因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只需取x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32．

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