Question

如图，直三棱柱中，，，D是AC的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求几何体的体积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线线平行证明线面平行，抓住直线PD∥B₁A达到证明AB₁∥平面BC₁D；（Ⅱ）采用体积分割技巧，将所求的几何体转化为直三棱柱的体积简单两个三棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点P，连接PD．

由于BB₁C₁C是平行四边形，所以P为为B₁C的中点

因为D为AC的中点，所以直线PD∥B₁A，

又PDÌ平面B₁CD，B₁AË平面BC₁D，

所以AB₁∥平面BC₁D．                                                                                                 6分

（Ⅱ）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积V₁＝×2×2×2＝4．

三棱锥C₁－BDC的体积V₂与三棱锥A₁－BDA的体积V₃相等，

V₂＝V₃＝×××2×2×2＝．

所以几何体BDA₁B₁C₁的体积V＝V₁－V₂－V₃＝．                                              12分

考点：1.平行关系的证明与判断；2.几何体的体积.