Question

【题目】已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．
（1）若c= a，求角A；
（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵c= a，

∴由正弦定理有sinC= sinA．

又C=2A，即sin2A= sinA，

于是2sinAcosA= sinA，

在△ABC中，sinA≠0，于是cosA= ，

∴A= ．

（2）解：根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．

由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，

∴cosA= ．

由余弦定理得 = ，代入a，b，c可得：

= ，

解得n=4，

∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，

即存在满足条件的△ABC，其周长为15

【解析】（1）由正弦定理有sinC= sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA= sinA，结合sinA≠0，可得cosA= ，即可得解A的值．（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA= ，由余弦定理得 = ，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求△ABC的周长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．