Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）
（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，

若x≤1，则f（x）=3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜ ，综合得x＜ ；

若1＜x＜2，则f（x）=1，显然f（x）＞2不成立；

若x≥2，则f（x）=2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞ ，综合得x＞

∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜ ，或x＞ }

（2）解：f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，

当﹣1≤x≤1时，g（x）=1+t﹣3x，显然g（x）min=g（1）=t﹣2，

当1＜x＜t时，g（x）=t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）=t﹣2，

当t≤x≤3时，g（x）=x﹣t﹣1，g（x）min=g（1）=t﹣2，

∴当x∈[1，3]时，g（x）min=t﹣2，

又∵t∈[1，2]，

∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，

综上，a的取值范围是a≤﹣1

【解析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．