【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为 ,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)直线l与直线C2交于M,N两点,若|MN|≥2 ,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:根据题意,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
曲线C1的极坐标方程ρ(ρ﹣4sinθ)=12,
可得曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=12,
设点P(x′,y′),Q(x,y),
根据中点坐标公式,得 ,代入x2+y2﹣4y=12,
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:(x﹣3)2+(y﹣1)2=4
(2)解:直线l的普通方程为:y=ax,
设圆心到直线的距离为d,
由弦长公式可得,|MN|=2 ≥2
,
可得圆心(3,1)到直线的距离为d= ≤
,
即为4a2﹣3a≤0,
解得实数a的取值范围为:[0, ]
【解析】(1)首先,将曲线C1化为直角坐标方程,然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,运用点到直线的距离公式和弦长公式,解不等式即可得到取值范围.
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【题目】某市为了解各校《国学》课程的教学效果,组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试,测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级,随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩,得到如图所示分布图:
(Ⅰ)试确定图中实数a与b的值;
(Ⅱ)规定等级D为“不合格”,其他等级为“合格”,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生,求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣t|(t∈R)
(1)t=2时,求不等式f(x)>2的解集;
(2)若对于任意的t∈[1,2],x∈[﹣1,3],f(x)≥a+x恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】设数列{xn}的前n项和为Sn , 且4xn﹣Sn﹣3=0(n∈N*);
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)若数列{yn}满足yn+1﹣yn=xn(n∈N*),且y1=2,求满足不等式 的最小正整数n的值.
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【题目】设函数 为定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(a+1,+∞)上的单调性,并用定义法证明.
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【题目】设m>1,在约束条件 下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为( )
A.(1, )
B.( ,+∞)
C.(1,3)
D.(3,+∞)
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【题目】已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值. (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E(ξ);
(Ⅱ)记“不等式ξx2﹣ξx+1>0的解集是实数集R”为事件A,求事件A发生的概率P(A).
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【题目】如图,D、E分别是△ABC的边BC的三等分点,设 =m,
=n,∠BAC=
.
(1)用 、
分别表示
,
;
(2)若
=15,|
|=3
,求△ABC的面积.
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【题目】我国南宋数学家秦九韶(约公元1202﹣1261年)给出了求n(n∈N*)次多项式anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0 , 当x=x0时的值的一种简捷算法.该算法被后人命名为“秦九韶算法”,例如,可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=((a3x+a2)x+a1)x+a0 , 然后进行求值.运行如图所示的程序框图,能求得多项式( )的值.
A.x4+x3+2x2+3x+4
B.x4+2x3+3x2+4x+5
C.x3+x2+2x+3
D.x3+2x2+3x+4
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