Question

【题目】设数列{xn}的前n项和为Sn ， 且4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*）；
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）若数列{yn}满足yn+1﹣yn=xn（n∈N*），且y1=2，求满足不等式 的最小正整数n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．

n≥2时，由Sn=4xn﹣3，∴xn=Sn﹣Sn﹣1=4xn﹣3﹣（4xn﹣1﹣3），∴xn= ，∴数列{xn}，是等比数列，公比为 ．

∴xn= ．

（2）解：yn+1﹣yn=xn= ，且y1=2，

∴yn=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（yn﹣yn﹣1）

=2+1+ + +…+ =2+ =3× ﹣1．当n=1时也满足．

∴yn=3× ﹣1．

不等式 ，化为： = ，∴n﹣1＞3，解得n＞4．

∴满足不等式 的最小正整数n的值为5

【解析】（1）由4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1 ． n≥2时，由Sn=4xn﹣3，可得xn=Sn﹣Sn﹣1 ， 利用等比数列的通项公式即可得出．（2）yn+1﹣yn=xn= ，且y1=2，利用yn=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（yn﹣yn﹣1）与等比数列的求和公式即可得出yn ． 代入不等式 ，化简即可得出．