Question

【题目】如图，设椭圆C1： + =1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是 ．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C1： + =1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，

又∵椭圆C1的离心率是 ．∴c= ，b=1，∴椭圆C1的标准方程： ．

（2）解：过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立 得y2﹣8my﹣16=0．

y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|= =8（1+m2）．

过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）

联立 得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，

xC+2= ，xC= ．

∴|CF|= ．

△ABC面积s= |AB||CF|= ．

令 ，则s=f（t）= ，f′（t）= ，

令f′（t）=0，则t2= ，即1+m2= 时，△ABC面积最小．

即当m=± 时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=± y+2．

【解析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）联立 得y2﹣8my﹣16=0．|AB|= ，同理得|CF|= ．△ABC面积s= |AB||CF|= ．令 ，则s=f（t）= ，利用导数求最值即可．