Question

【题目】已知数列{an}满足nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若an＜an+1对n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[0，+∞）
【解析】解：由nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n）=λn（n+2）， 得 ，
∴数列{ }的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，
∵a1=1，a2=2，
∴当n为奇数时， ，
∴ ；
当n为偶数时， ，
∴ ．
当n为奇数时，由an＜an+1 ， 得 ＜ ，
即λ（n﹣1）＞﹣2．
若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞ ，∴λ≥0；
当n为偶数时，由an＜an+1 ， 得 ＜ ，
即3nλ＞﹣2，∴λ＞ ，即λ≥0．
综上，λ的取值范围为[0，+∞）．
所以答案是：[0，+∞）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．