Question

设f（x）=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

．
（1）试判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（2）若f（x）的反函数f^-1（x），证明方程f^-1（x）=0有唯一解；
（3）解不等式f[x（x-

1

2

）]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）令分母不为0且真数大于0求出函数的定义域；利用导数的运算法则求出导函数，判断出导函数的符号，得证．
（2）根据互为反函数的单调性相同，得到f^-1（x）递减；求出f（0）的值，得到反函数有根，据单调证得根唯一．
（3）将

1

2

用f（0）代替，利用f（x）的单调性去掉法则f，注意定义域；解二次不等式组求出解集．

解答：（1）f（x）在（-1，1）上递减
证明：函数的定义域为

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，1）
∵f′(x)=-

1

(x+2)2

-

2

1-x2

ln10＜0
∴f（x）在（-1，1）上递减
（2）∵f（x）与f^-1（x）的单调性相同
∴f^-1（x）在定义域上递减
∵f(0)=

1

2

∴f-1(

1

2

)=0
∴f^-1（x）=0有解，且唯一
（3）原不等式同解于f[x(x-

1

2

)]＜f(0)
∵f（x）在（-1，1）上递减
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

解得

1

2

＜x＜1或

1- 17

4

＜x＜0
∴解集为{x|

1

2

＜x＜1或

1- 17

4

＜x＜0}

点评：本题考查利用导函数的符号与函数单调性的关系证明函数的单调性、考查函数单调时根唯一、考查利用函数的单调性解抽象不等式应先将不等式化为f（m）＞f（n）（f（m）＜f（n））的形式．