Question

（本题满分14分）以下是有关椭圆的两个问题：

问题1：已知椭圆，定点A(1, 1)，F是右焦点，P是椭圆上动点，则有最小值；

问题2：已知椭圆，定点A (2, 1)，F是右焦点，

P是椭圆上动点，有最小值；

(Ⅰ)求问题1中的最小值，并求此时P点坐标；

(Ⅱ)试类比问题1，猜想问题2中的值，并谈谈你作此猜想的依据．

 

Answer 1

【答案】

．⑴，当且仅当A, P, M三点共线时取到最小值，此时点P的坐标为（）；

⑵时|PA|+m|PF|=|PA|+med =|PA|+d，当P、A、B三点共线时，有最小值．

【解析】本试题主要是考查了椭圆中距离的最值问题的求解，

（1）在第一问题中利用第二定义可知

故，当且仅当A, P, M三点共线时取到最小值，此时点P的坐标为（）；

（2）猜想（8分）②理由：问题1中的数是椭圆的离心率的倒数，猜想问题2中的常数m也是椭圆离心率的倒数，也用上述的方法得到结论。

解：⑴注意到椭圆的离心率，右焦点F()，右准线．过点P作准线的垂线，垂足为M，由椭圆第二定义，

故，当且仅当A, P, M三点共线时取到最小值，此时点P的坐标为（）；（6分）

⑵①猜想（8分）②理由：问题1中的数是椭圆的离心率的倒数，猜想问题2中的常数m也是椭圆离心率的倒数（9分）

另一方面，从解题角度来看，问题1利用椭圆的第二定义，问题2也可利用类似方法解决最小值问题：设点P到椭圆的右准线距离为d，由椭圆第二定义，|PF|=ed，则|PA|+m|PF|=|PA|+med．当me=1，即时|PA|+m|PF|=|PA|+med =|PA|+d，当P、A、B三点共线时，有最小值．（14分）（配合图像说明）