Question

19．已知直线l：y=kx+2k+1．
（1）求证：直线l恒过一个定点；
（2）当-3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接借助于直线系方程可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{1-y=0}\end{array}\right.$，求解方程组可得直线l恒过一个定点的坐标；
（2）把当-3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，转化为$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）=-3k+2k+1≥0}\\{f（3）=3k+2k+1≥0}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 （1）证明：由y=kx+2k+1，得k（x+2）+1-y=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{1-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线l：y=kx+2k+1过定点（-2，1）；
（2）解：令f（x）=kx+2k+1，
∵当-3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）=-3k+2k+1≥0}\\{f（3）=3k+2k+1≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{5}≤k≤1$．
∴实数k的取值范围是$[-\frac{1}{5}，1]$．

点评 本题考查直线系方程，考查了一次函数的性质，体现了数学转化思想方法，是基础题．