Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；
（2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时，证明：

kMA+kMB

kMF

是一个定值，并求出这个值．（其中k_MA，k_MB，k_MF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）

Answer 1

分析：（1）可以设出点Q坐标，用Q点坐标表示|QN|，再利用二次函数求最值即可．
（2）因为过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，可设出直线方程的点斜式，代入抛物线方程，消x，得到y²-2pmy-p²=0，求两根之和，两根之积，这样，就可以用A，B含k的式子表示

kMA+kMB

kMF

，再消掉k，即可得结果，为一定值．

解答：解：（1）设点Q（x，y），则|QN|²=（x-2p）²+y²=（x-p）²+3p²
当x=p时，|QN|min=

3

p
（2）由条件设直线AB：x=my+

p

2

代入y²=2px
得y²-2pmy-p²=0，
设A(x1，y1)， B(x2，y2)， M(-

p

2

，y0)
则y1+y2=2pm，  y1y2=-p2，  x1+x2=2pm2+p，  x1x2=

p2

4

kMA+kMB=

y1-y0

x1+ p 2

+

y2-y0

x2+ p 2

=

(x2+ p 2 )(y1-y0)+(x1+ p 2 )(y2-y0)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

y1(my2+ p 2 + p 2 )+y2(my1+p)-y0(x1+x2+p)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

2my1y2+p(y1+y2)-y0(x1+x2+p)

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=-

2y0

p

又kMF=-

y0

p

所以

kMA+kMB

kMF

为定值2．

点评：本题考查了只限于圆锥曲线的位置关系的判断，做题时应该认真分析，找到突破口．