精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线y2=2px(p>0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.求a的取值范围.
分析:设直线l的方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得x2-2(a+p)x+a2=0,设直线l与抛物线两个不同的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),导出|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
8p(p+2a)
,由|AB|≤2p.能求出a的取值范围.
解答:解:设直线l的方程为y=x-a,
将y=x-a代入y2=2px,
得x2-2(a+p)x+a2=0,
设直线l与抛物线两个不同的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
4(a+p)2-4a2>0
x1+x2=2(a+p)
x1x2=a2

∵y1=x1-a,y2=x2-a,
∴|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
2[(x1+x2)2-4x1x2]

=
8p(p+2a)

∵0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0,
∴0<
8p(p+2a)
≤2p,
解得-
p
2
<a≤-
p
4
点评:本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.
(1)求抛物线上任意一点Q到定点N(2p,0)的最近距离;
(2)过点F作一直线与抛物线相交于A,B两点,并在准线l上任取一点M,当M不在x轴上时,证明:
kMA+kMBkMF
是一个定值,并求出这个值.(其中kMA,kMB,kMF分别表示直线MA,MB,MF的斜率)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•聊城一模)已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(2p,0)的直线与抛物线相交于A,B,
OA
OB
=
0
0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线y2=2px(p>0),M(2p,0),A、B是抛物线上的两点.求证:直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB,其中O是坐标原点.

查看答案和解析>>

同步练习册答案