Question

已知函数f（x）＝ax＋x2－xlna（a＞0，a≠1）．

（1）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

（2）若函数y＝|f（x）－t|－1有三个零点，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f（x1）－f（x2）|≥e－1，试求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）t＝2；（3）

【解析】试题分析：（1）通过f '（x）≥0（a＞0）恒成立可证；（2）要使得函数y＝|f（x）－t|－1有三个零点，只需其极大值大于0，而极小值小于0即可；（3）要满足题意，只需在x∈[－1，1]时函数的最大值与最小值之差不小于e－1即可.

解析：（1）

由于，故当时，，所以，

故函数在上单调递增． 4分

（2）当时，因为，且在R上单调递增，

故有唯一解．

所以的变化情况如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	递减	极小值	递增

 

又函数有三个零点，所以方程有三个根，

而，所以，解得． 10分

（3）因为存在，使得，

所以当时，．

由（2）知，在上递减，在上递增，

所以当时，．

而，

记，因为（当时取等号），

所以在上单调递增．

而，故当时，；当时，．即当时，；

当时，．

①当时，由；

②当时，由．

综上可知，所求的取值范围为． 14分

考点：利用导数研究函数性质，函数的单调性，零点，极值，不等式