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    在△OPQ中，
    OA
    =
    1
    2
    OP
    ，
    OB
    =
    1
    3
    OQ
    ，QA与PB相交于点C，设
    OP
    =
    a
    ，
    OQ
    =
    b


    （1）用
    a
    ，
    b
    表示
    OC
    ；
    （2）过C点作直线l分别与线段OQ，OP交于点M，N，设
    OM
    =λ
    OQ
    ，
    ON
    =μ
    OP
    ，求证：
    2
    5μ
    +
    1
    5λ
    =1．
    考点：平面向量的基本定理及其意义
    专题：平面向量及应用
    分析：（1）由A，C，Q三点共线可得，存在t使：
    AC
    =k
    AQ
    ，这样便容易得到，
    OC
    =
    1-k
    2
    a
    +k
    b
    ；同理可得到存在t使：
    OC
    =t
    a
    +
    1-t
    3
    b
    ，根据平面向量基本定理便得，
    1-k
    2
    =t
    k=
    1-t
    3
    ，这样即可求出k，t，从而用
    a
    ，
    b
    表示出
    OC
    ；
    （2）由N，C，M三点共线可得，存在x使：
    OC
    =x
    OM
    +(1-x)
    ON
    =xλ
    b
    +(1-x)μ
    a
    ，又由（1）知
    OC
    =
    2
    5
    a
    +
    1
    5
    b
    ，所以
    (1-x)μ=
    2
    5
    xλ=
    1
    5
    ，这样即可求出
    2
    5μ
    +
    1
    5λ
    =1．
    解答： 解：（1）∵A，C，Q三点共线，∴存在实数k，使
    AC
    =k
    AQ
    ，∴
    OC
    =k
    OQ
    +(1-k)
    OA
    =
    1-k
    2
    a
    +k
    b
    ；
    同理，P，C，B三点共线，∴得到存在实数t，使
    OC
    =t
    OP
    +(1-t)
    OB
    =t
    a
    +
    1-t
    3
    b
    ；
    ∴根据平面向量基本定理知：
    1-k
    2
    =t
    k=
    1-t
    3
    ，解得k=
    1
    5
    ，t=
    2
    5
    ；
    ∴
    OC
    =
    2
    5
    a
    +
    1
    5
    b
    ；
    （2）由N，C，M三点共线，
    OC
    =x
    OM
    +(1-x)
    ON
    =xλ
    b
    +(1-x)μ
    a
    ；
    又由（1）知 
    OC
    =
    2
    5
    a
    +
    1
    5
    b

    所以
    xλ=
    1
    5
    (1-x)μ=
    2
    5
    ，∴
    2
    5μ
    +
    1
    5λ
    =1-x+x=1    ．
    点评：考查共线向量基本定理，平面向量基本定理．
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    a
    |=|
    b
    |，
    π
    4
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    a
    ∥
    b
    ，求tanθ的值．

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    		3
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    π
    2
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    		3
    2
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    π
    2
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