Question

18．已知在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1+a_n=3•2^n-1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若1＜r＜s且r，s∈N^*，是否存在直线l，使得当a₁，a_r，a_s成等差数列时，点列（2^r，2^s）在l上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1+a_n=3•2^n-1变形可知a_n+1-2ⁿ=-（a_n-2^n-1），进而可知数列{a_n-2^n-1}是以2为首项、-1为公比的等比数列，分n为正偶数、正奇数两种情况讨论即可；
（2）通过假设a₁，a_r，a_s成等差数列，整理可知2^r-2^s-1=3+2•（-1）^s-1-4•（-1）^r-1，分r与s均为偶数、r为奇数且s为偶数、r为偶数且s为奇数、r与s均为奇数四种讨论计算即得结论．

解答 （1）解：∵a_n+1+a_n=3•2^n-1，
∴a_n+1-2ⁿ=-（a_n-2^n-1），
又∵a₁-2⁰=3-1=2，
∴数列{a_n-2^n-1}是以2为首项、-1为公比的等比数列，
∴a_n-2^n-1=2•（-1）^n-1，
∴a_n=2^n-1+（-1）^n-1•2，
当n为正偶数时，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1；
当n为正奇数时，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+2=2ⁿ+1，
∴S_n=2ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹；
（2）结论：存在满足条件的直线y=2x+6．
理由如下：
假设a₁，a_r，a_s成等差数列，则2a_r=a₁+a_s，
∴2[2^r-1+（-1）^r-1•2]=3+2^s-1+（-1）^s-1•2，
整理得：2^r-2^s-1=3+2•（-1）^s-1-4•（-1）^r-1，
依题意，1＜r＜s且r，s∈N^*，下面对r、s进行讨论：
①若r、s均为偶数，则2^r-2^s-1=3-2+4=5＞0，
解得：s＜r+1，与1＜r＜s且r，s∈N^*矛盾，舍去；
②若r为奇数、s为偶数，则2^r-2^s-1=3-2-4=-3＜0，
解得：s＞r+1；
③若r为偶数、s为奇数，则2^r-2^s-1=3+2+4=9＞0，
解得：s＜r+1，与1＜r＜s且r，s∈N^*矛盾，舍去；
④若r、s均为奇数，则2^r-2^s-1=3+2-4=1＞0，
解得：s＜r+1，与1＜r＜s且r，s∈N^*矛盾，舍去；
综上①②③④，只有当r为奇数、s为偶数时，a₁，a_r，a_s成等差数列，
此时满足条件点列（2^r，2^s）落在直线y=2x+6在l上．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题．