Question

【题目】如图，在四棱锥中，为平行四边形，，平面，且，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）连接交于点，由三角形中位线性质知，由线面平行判定定理证得结论；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，假设，可用表示出点坐标；根据二面角的向量求法可根据二面角的余弦值构造出关于的方程，从而解得结果.

（1）连接交于点，连接，

四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，

平面，平面，平面；

（2）平面，，两两互相垂直，

则以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，，

设，且，

则，，即，

设平面的法向量，又，，

则，令，则，，；

设平面的一个法向量，又，，

则，令，则，，；

，解得：或，

二面角的余弦值为，二面角为锐二面角，

不满足题意，舍去，即.

在线段上存在点，时，二面角的余弦值为.