Question

函数f（x）=x²-2ax+1在闭区间[-1，1]上的最小值记为g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：

分析：（1）根据函数f（x）的图象的对称轴x=a在所给区间[-1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（a），综合可得结论．
（2）根据函数g（a）的解析式，画出函数g（a）的图象，数形结合求得函数g（a）取得最大值．

解答： 解：（1）函数f（x）可化为f（x）=（x-a）²+1-a²，其图象的对称轴x=a与所给区间[-1，1]呈现出如下图所示的三种位置关系．

①当a＞1时，如图所示，g（a）=f（1）=2-2a；当-1≤a≤1时，g（a）=f（a）=1-a²，当a＜-1时，g（a）=f（-1）=2+2a，
综上可得g（a）=

2-2a，a＞1 1-a2，-1≤a≤1 2+2a，a＜-1

．
（2）根据g（a）=

2-2a，a＞1 1-a2，-1≤a≤1 2+2a，a＜-1

，画出函数g（a）的图象，如图所示，故当a=0时，函数g（a）取得最大值为1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属基础题．