Question

函数y=

3

x-2+4cos2

x

2

在区间[0，

π

2

]上的最大值是

3 π

3

+1

．

Answer 1

分析：把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，利用求导法则求出导函数，令导函数值为0求出x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，可得出函数的单调区间，由函数的单调性可得函数的最大值．

解答：解：∵y=

3

x-2+4cos2

x

2

=

3

x-2+2（1+cosx）
=

3

x+2cosx，
∴y′=

3

-2sinx，
令y′=0，解得sinx=

3

2

，又x∈[0，

π

2

]，∴x=

π

3

，
当0＜x＜

π

3

时，y′＞0，函数为增函数；
当

π

3

≤x＜

π

2

时，y′＜0，函数为减函数，
则当x=

π

3

时，函数取最大值，最大值为yx=

π

3

=

3 π

3

+1．
故答案为：

3 π

3

+1

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，求导法则，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求函数的最值，熟练运用三角函数的恒等变形把函数解析式化简是本题的突破点，解题的关键是利用导函数的正负得出函数的单调性．