Question

1．已知函数f（x）=x²-2alnx．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到f′（1）=3，从而求出a的值；（2）问题转化为a≤x²在[1，2]恒成立，求出y=x²在[1，2]的最小值即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=-\frac{2a}{x}+2x$，
所以有-2a+2=3，
∴a=-1；
（2）由题意得：
$f'（x）=-\frac{2a}{x}+2x≥0$在[1，2]恒成立，
即a≤x²在[1，2]恒成立，
∴a≤（x²）_min=1，
∴a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性，切线的斜率问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．