Question

5．已知函数$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+b}}$．
（1）求f'（x）；
（2）设f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用导数法则求f'（x）；
（2）由f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{ax'（{x^2}+b）-ax（{x^2}+b）'}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$…（2分）
=$\frac{{a（{x^2}+b）-ax•2x}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$=$\frac{{ab-a{x^2}}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$．…（4分）
（2）依题意有$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{ab-a}{{{{（a+b）}^2}}}=0\\ 1+b≠0\\ \frac{a}{1+b}=2\end{array}\right.$，解得a=4，b=1，…（9分）
所以$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$．…（10分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．