Question

20．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	2		-2	0

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据最值求得A，由周期求得ω，五点法做函数y=Asin（ωx+φ）的图象求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．

解答 解：（1）补充表格：
由于最大值为2，最小值为-2，故A=2．
$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，故f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后，可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的图象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，
故g（x）的单调递减区间为[得4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．