Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=

12

5

2

时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1由e=

3

2

 可得a，b之间的关系，再由椭圆过点M（4，1），代入椭圆方程可得a，b得另一个关系式，联立可求
（2）将y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，整理可得5x²+8mx+4m²-20=0，由|AB|=

2

|x1-x2|=

4 2

5

25-m2

可求m
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，要证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．只要证明k₁+k₂=0即可

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
因为e=

3

2

 所以a=2b
又椭圆过点M（4，1），所以

16

a2

+

1

b2

=1解得a=2

5

，b=

5

故椭圆方程为

x2

20

+

y2

5

=1
（2）将y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1
5x²+8mx+4m²-20=0
|AB|=

2

|x1-x2|=

4 2

5

25-m2

=

12 2

5

，得到m=±4
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8m

5

， x1x2=

4m2-20

5

k1+k2=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0
因此MA，MB与x轴所围成的三角形为等腰三角形

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，在处理直线与椭相交的位置关系的处理中，联立方程是最常用的处理方法，根与系数的关系的应用是处理此类问题的关键所在，