Question

4．求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x-3}{2{x}^{2}+2x+1}$的值域．

Answer 1

分析 可将原函数整理成关于x的方程：（2y-1）x²+2（y+1）x+y+3=0①，该方程有解，显然需分2y-1=0和2y-1≠0两种情况.2y-1=0时方程显然有解，而2y-1≠0时，方程①便为一元二次方程，从而由△≥0即可解出y的范围，合并这两种情况即可得出原函数的值域．

解答 解：由原函数得，2yx²+2yx+y=x²-2x-3；
整理得：（2y-1）x²+2（y+1）x+y+3=0（1），将该式看成关于x的方程，方程有解；
①若2y-1=0，即y=$\frac{1}{2}$，带入上式可求出x，即y可以取$\frac{1}{2}$；
②若2y-1≠0，则方程（1）为一元二次方程，方程有解；
∴△=4（y+1）²-4（2y-1）（y+3）≥0；
解得-4≤y≤1；
综上得原函数的值域为[-4，1]．

点评 考查函数值域的概念，整理成关于x的方程，根据方程有解求值域的方法，以及一元二次方程有解时判别式△的取值情况，不要漏了2y-1=0的情况．