Question

16．已知cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{12}{13}$，α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），求：
（1）$\frac{cos2α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$；
（2）$\frac{tanα}{tan2α}$．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\frac{π}{4}$-α∈（0，$\frac{π}{2}$），利用同角三角函数关系式可求sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{5}{13}$，由两角差的余弦函数公式可求cosα=cos（-α）=cos[（$\frac{π}{4}$-α）-$\frac{π}{4}$]的值，利用诱导公式及二倍角公式即可求值得解．
（2）结合（1）利用同角三角函数关系式及二倍角公式即可得解．

解答 解：（1）∵α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$-α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{12}{13}$，解得：sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{5}{13}$，
∴cosα=cos（-α）=cos[（$\frac{π}{4}$-α）-$\frac{π}{4}$]=cos（$\frac{π}{4}$-α）cos$\frac{π}{4}$+sin（$\frac{π}{4}$-α）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{17\sqrt{2}}{26}$．
∴$\frac{cos2α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{2co{s}^{2}α-1}{-sin（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{2×（\frac{17\sqrt{2}}{26}）^{2}-1}{-\frac{5}{13}}$=-$\frac{24}{13}$．
（2）结合（1）可得：$\frac{tanα}{tan2α}$=$\frac{\frac{sinα}{cosα}}{\frac{2sinαcosα}{2co{s}^{2}α-1}}$=$\frac{2co{s}^{2}α-1}{2co{s}^{2}α}$=1-$\frac{1}{2co{s}^{2}α}$=1-$\frac{1}{2×（\frac{17\sqrt{2}}{26}）^{2}}$=$\frac{120}{289}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式及二倍角公式，两角差的余弦函数公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．