Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x+1-a}{a-x}$．
（1）当函数f（x）的定义域为[a+$\frac{1}{2}$，a+1]时，求函数f（x）的值域．
（2）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，当$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$时，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用分离变量，可得f（x）=-1+$\frac{1}{a-x}$，再由x的范围，可得a-x的范围，进而得到f（x）的值域；
（2）运用绝对值的含义，去绝对值，再由二次函数的最值求法，注意对称轴和区间的关系，可得最值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x+1-a}{a-x}$=-1+$\frac{1}{a-x}$，
由a+$\frac{1}{2}$≤x≤a+1，可得-a-1≤-x≤-a-$\frac{1}{2}$，
-2≤$\frac{1}{a-x}$≤-1．
于是-3≤-1+$\frac{1}{a-x}$≤-2，
则函数f（x）的值域为[-3，-2]；
（2）函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1-a，x≥a-1}\\{{x}^{2}-x-1+a，x＜a-1}\end{array}\right.$
当$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$时，-$\frac{1}{2}$≤a-1≤$\frac{1}{2}$．
则当x≥a-1时，g（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$-a，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
则区间[a-1，+∞）为增区间，即有x=a-1，取得最小值（a-1）²；
当x＜a-1时，g（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$+a，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
则区间（-∞，a-1）为减区间，则g（x）＞（a-1）²．
则有g（x）的最小值为（a-1）²．

点评 本题考查分式函数的值域和含绝对值的函数的最值的求法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．