Question

10．已知抛物线C：x²=4y．
（1）若点P（x₀，y₀）是抛物线C上一点，求证：过点P的抛物线C的切线方程为x₀x=2（y+y₀）
（2）点M是抛物线C准线上一点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求|AB|的最小值的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，化简可得所求方程；
（2）求出抛物线的焦点和准线方程，设出切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，-1），求得切线MA．，MB的方程，进而得到切点弦方程，可得经过焦点F，即可得到AB的最小值为抛物线的通径长，可得M的坐标．

解答 解：（1）证明：y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y'=$\frac{1}{2}$x，
则过点P的抛物线C的切线斜率为$\frac{1}{2}$x₀，
切线方程为y-y₀=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
即为y-y₀=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{2}$x₀²=$\frac{1}{2}$x₀x-2y₀，
即为过点P的抛物线C的切线方程为x₀x=2（y+y₀）；
（2）抛物线C：x²=4y的准线方程为y=-1，焦点F（0，1），
设切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，-1），
又y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y'=$\frac{1}{2}$x，
则切线MA的方程为：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
切线PB的方程为：y-y₂=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂）即y=$\frac{1}{2}$x₂x-y₂，
由M（t，-1）是MA、MB交点可知：-1=$\frac{1}{2}$x₁t-y₁，-1=$\frac{1}{2}$x₂t-y₂，
∴过A、B的直线方程为-1=$\frac{1}{2}$tx-y，
即$\frac{1}{2}$tx-y+1=0，
所以直线AB：$\frac{1}{2}$tx-y+1=0过定点F（0，1）．
则|AB|的最小值为抛物线的通径长2p=4，
此时M的坐标为（0，-1）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线的位置关系：相切，考查运算能力，属于中档题．