Question

1．在平面区域{（x，y）||x|≤1，|y丨≤1}上恒有ax-2by≤2．
（1）求P（a，b）所形成平面区域的面积；
（2）求z=$\frac{b-3}{a+3}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先依据不等式组{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用求最优解的方法，结合题中条件：“恒有ax-2by≤2”得出关于a，b的不等关系，最后再据此不等式组表示的平面区域求出面积即可；
（2）利用（1）a，b的范围，结合z=$\frac{b-3}{a+3}$的几何意义求最值．

解答 解：（1）令z=ax-2by，
∵ax-2by≤2恒成立，
即函数z=ax-2by在可行域要求的条件下，z_max=2恒成立．
当直线ax-2by-z=0过点（1，1）或点（1，-1）或（-1，1）或（-1，-1）时，有：$\left\{\begin{array}{l}{a-2b≤2}\\{a+2b≤2}\\{-a-2b≤2}\\{-a+2b≤2}\end{array}\right.$．
点P（a，b）形成的图形是图中的菱形MNTS．
∴所求的面积S=2×$\frac{1}{2}$×4×1=4．
（2）z=$\frac{b-3}{a+3}$表示菱形内的各点与点（-3，3）连接的直线的斜率，由（1）得z=$\frac{b-3}{a+3}$的最小值为$\frac{3}{-3+2}$=-3，最大值为$\frac{3}{-3-2}=-\frac{3}{5}$，
所以z=$\frac{b-3}{a+3}$的取值范围是[-3，-$\frac{3}{5}$]．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．