Question

11．已知f（x）有2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，则f（x）_min=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用方程组的方法，求出f（x），再利用基本不等式，即可求出f（x）_min．

解答 解：∵2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，①
∴以$\frac{1}{x}$代替x，可得2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=3x²，②
由①②可得f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+x²，
由基本不等式可得f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+x²≥2$\sqrt{2}$，（x=±$\root{4}{2}$时取等号）
∴f（x）_min=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数解析式的求解，考查函数的最小值，确定函数的解析式是关键．