Question

在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA=2AB，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）求PB与平面PAC所成的角；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为直角三角形，AB=BC，
∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∵PB平面PAB，
∴BC⊥PB．
（2）解：作AC中点D，连接BD，PD，
∵AB=BC，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，
∴BD平面ABC，
∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴∠BPD为PB与平面PAC所成的角，
记∠BPD=θ，
令AB=1，得PA=2，BC=1，
∴PB=，BD=，
∴，
∴．
（3）解：作BE⊥PC，交PC于点E，连接DE，
由（2）知∠BED为二面角A﹣PC﹣B的平面角，
∴PC=，BE=，∴sin∠BED==，
∴cos∠BED=．