Question

如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为PB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）先证明AE⊥PB，BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE，利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（II）作BM⊥PC，BM交PC于点M，连接DM，则∠BMD为二面角B-PC-D的平面角．在△BMD中，利用余弦定理可求．

解答：（I）证明：∵AB=AP，E为PB的中点，
∴AE⊥PB
∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC
∵BC⊥AB，PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，
∴BC⊥AE
∵PB∩BC=B
∴AE⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：作BM⊥PC，BM交PC于点M，连接DM，则
∵PB=PD，BC=CD，PC=PC
∴△PBC≌△PCD
∴DM⊥PC
∴∠BMD为二面角B-PC-D的平面角．
在△BMD中，BD=

2

，BM=DM=

6

3

，∴cos∠BMD=

BM2+DM2-BD2

2BM•DM

=-

1

2

∴∠BMD=

2π

3

∴二面角B-PC-D的平面角为

2π

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．