Question

若数列{a_n}满足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）对任意n∈N^*都成立，则我们把数列{a_n}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{a_n}满足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的两根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求证：数列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列，等比数列的定义，两种类型的数列都可写成a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）的形式，所以等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）都是L型数列．
（2）欲证数列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比数列，只需证明数列的后一项与前一项的比为常数．），根据x₁、x₂是x²+px+q=0的两实数根，p²-4q＞0，可得a_n+1-x₁a_n=x₂（a_n-x₁a_n-1），即可判断数列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）为首项，公比为x₂的等比数列．
（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．例如：已知L型数列{a_n}满足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，求数列{a_n-a_n-1}的通项公式．利用构造法，把a_n+1+a_n=2a_n-1两边均减2a_n，即可证明．
解答：解：（1）答：等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（n∈N^*）都是L型数列．
理由 当数列{a_n}（n∈N^*）是等差数列时，有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
即a_n+2-2a_n+1+a_n=0，且相应的p=-2，q=1．                       
所以等差数列{a_n}（n∈N^*）是L型数列．
同样，当数列{b_n}（n∈N^*）是等比数列时，有b_n+2=rb_n+1（r为公比），
即b_n+2-rb_n+1+0•b_n=0，且相应的p=-r，q=0．                     
所以等比数列{b_n}（n∈N^*）是L型数列．
证（2）∵a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，q≠0），x₁、x₂是x²+px+q=0的两实数根，p²-4q＞0，
∴x₁≠x₂，x₁x₂≠0，x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，a_n+1-（x₁+x₂）a_n+x₁x₂a_n-1=0．  
∴a_n+1-x₁a_n=x₂a_n-x₁x₂a_n-1=x₂（a_n-x₁a_n-1）．
又b-ax_i≠0（i=1，2），a₁=a，a₂=b，
∴数列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）为首项，公比为x₂的等比数列．
（同理可证，数列{a_n+1-x₂a_n}（n∈N^*）是等比数列）
（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．
例如：已知L型数列{a_n}满足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，
求数列{a_n-a_n-1}的通项公式．
解答：∵a_n+1+a_n-2a_n-1=0，
∴a_n+1+a_n=2a_n-1，a_n+1-a_n=2a_n-1-2a_n=-2（a_n-a_n-1）
∴=-2
∴数列{a_n-a_n-1}为等比数列，公比为-2，首项为2-1=1
∴数列{a_n-a_n-1}的通项公式为a_n-2a_n-1=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1
点评：本题主要考查了利用等差，等比数列的通项公式，判断新数列的性质．