Question

5．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦点为F，右顶点为A，点P在椭圆上，若FP⊥PA，则直线PF的斜率可以是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出A、F的坐标，设出P的坐标，求出的坐标，由题意可得方程组，解方程组求得点P的坐标．然后求解斜率．

解答 解：由已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦点为F（-2，0），右顶点为A（3，0），设点P（x，y），则$\overrightarrow{PA}$=（3-x，-y），$\overrightarrow{FP}$=（x+2，y）．
由已知FP⊥PA，可得$\left\{\begin{array}{l}{（3-x）（x+2）+y（-y）=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，4x²-9x-9=0，解得x=3，或x=-$\frac{3}{4}$．
由题意x=-$\frac{3}{4}$，于是y=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．∴点P的坐标是（-$\frac{3}{4}$，±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．
直线PF的斜率：$\frac{±\frac{5\sqrt{3}}{4}}{-\frac{3}{4}+2}$=$±\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点P的坐标，是解题的难点．