Question

已知P（x，y）满足约束条件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，O为坐标原点，A（3，4），则|

OP

|•cos∠AOP的最大值是

11

5

．

Answer 1

分析：连接OA、OP、AP，由余弦定理的推论把cos∠AOP化为

| OA |2+| OP |2-| AP |2

2| OA || OP |

，代入两点间的距离公式后展开整理，则|

OP

|•cos∠AOP的值化为

3x+4y

5

，进一步运用线性规划知识求3x+4y的最大值即可．

解答：解：|

OA

|=

32+42

=5，|

OP

|2=x2+y2，|

AP

|2=(x-3)2+(y-4)2=x2+y2-6x-8y+25，
|

OP

|•cos∠AOP=|

OP

|×

| OA |2+| OP |2-| AP |2

2| OA || OP |

=

25+x2+y2-x2-y2+6x+8y-25

10

=

3x+4y

5

，
因为P（x，y）满足约束条件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，
可行域如图，
要使

3x+4y

5

最大，首先作出直线3x+4y=0，由图看出当直线平移经过直线x=1和x+y-3=0的交点（1，2）时3x+4y最大，
则

3x+4y

5

最大，值为

3×1+4×2

5

=

11

5

．
故答案为

11

5

．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量数量积的含义，考查了数学转化思想和数形结合思想，解答此题的关键是把要求的式子转化为含P点坐标的代数式，进一步运用线性规划知识解决，此题有一定难度．