(本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切;
(3)求线段MN的长(用表示),并证明M、N两
点到直线的距离之和等于线段MN的长.
(1) ;
(2)以ON为直径的圆与直线相切. (3)MN两点到距离之和等于线段MN的长.
【解析】此题属于二次函数的综合题目,涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系,梯形的中位线定理,综合性较强,关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通.
(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,然后利用待定系数法求解即可;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),然后代入抛物线方程,用含y2的式子表示出ON,设ON的中点E,分别过点N、E向直线l、作垂线,垂足为P、F,利用梯形的中位线定理可得出EF,与所求ON的值进行比较即可得出结论;
(3)过点M作MH丄NP交NP于点H,在RT△MNH中表示出MN2,结合直线方程将MN2化简,求出MN,然后延长NP交l2于点Q,过点M作MS丄l2交l2于点S,则MS+NQ=y1+2+y2+2,利用根与系数的关系,求出两根的平方和 ,并代入,从而可得出结论.
(1)设抛物线对应二次函数的解析式为
由 ,解得,所以 ……………………4分
(2)设,因为点M、N在抛物线上,
所以,,所以;
又=,所以ON=,又因为,
所以ON
设ON的中点为E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足分别为P、F,
则 所以ON=2EF,
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半, 所以以ON为直径的圆与直线相切. …………………………………9分
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则
又,所以
所以;
又因为点M、N既在的图象上,又在抛物线上,所以,即,
所以,
所以,所以 所以
延长NP交于点Q,过点M作MS⊥交于点S,
则MS+NQ=
又=所以MS+NQ=
即MN两点到距离之和等于线段MN的长.…………………………………………14分
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3 |
π |
4 |
π |
4 |
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2 |
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(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
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