Question

如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设直线A_nB_n的方程为y-1=k_nx，然后与抛物线方程x²=4y联立消去y得到x²-4k_nx-4=0，再由根与系数的关系可得到x_ns_n=-4，从而得证．
（Ⅱ）先根据导数求出抛物线x²=4y在A_n处的切线的斜率，进而可得到抛物线在A_n处的切线的方程，同理可得到x²=4y在B_n处的切线方程，然后两切线方程相减整理可得到交点C_n的坐标，然后结合两点间的距离公式可得到|FCn|2=(

xn+sn

2

)2+4=

x 2 n

4

+

s 2 n

4

+2整理即可得到|FCn|=

|xn|

2

+

2

|xn|

，又由于x_n=2ⁿ可得到|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=

1

2

（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2(

1

|x1|

+

1

|x2|

+…+

1

|xn|

)=

1

2

(2+22+…+2n)+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)，最后根据等比数列的前n项和公式可得到最后答案．

解答：证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，因为焦点F（0，1），
所以可设直线A_nB_n的方程为y-1=k_nx，
将它与抛物线方程x²=4y联立得：x²-4k_nx-4=0，
由一元二次方程根与系数的关系得x_ns_n=-4（n≥1）．
（Ⅱ）对任意固定的n≥1，
利用导数知识易得抛物线x²=4y在A_n处
的切线的斜率kAn=

xn

2

，
故x²=4y在A_n处的切线的方程为：y-yn=

xn

2

(x-xn)，①
类似地，可求得x²=4y在B_n处的切线的方程为：y-tn=

sn

2

(x-sn)，②
由②-①得：yn-tn=-

xn-sn

2

x+

x 2 n - s 2 n

2

=

x 2 n

4

-

s 2 n

4

，

xn-sn

2

x=

x 2 n - s 2 n

4

，∴x=

xn+sn

2

③
将 ③代入 ①并注意x_ns_n=-4得交点C_n的坐标为(

xn+sn

2

，-1)．
由两点间的距离公式得：|FCn|2=(

xn+sn

2

)2+4=

x 2 n

4

+

s 2 n

4

+2=

x 2 n

4

+

4

x 2 n

+2=(

xn

2

+

2

xn

)2，?|FCn|=

|xn|

2

+

2

|xn|

．
现在x_n=2ⁿ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=

1

2

（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2(

1

|x1|

+

1

|x2|

+…+

1

|xn|

)
=

1

2

(2+22+…+2n)+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=(2n-1)+(2-21-n)=2n-2-n+1+1．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题和等比数列的前n项和公式．考查基础知识的综合运用和计算能力．圆锥曲线、直线以及数列是高考必考题，要给予重视．