Question

(22)如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA.交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）.

（Ⅰ）试证：x_ns_n=－4（n≥1）；

（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点.试证：

|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1（n≥1）.

Answer 1

证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，因为焦点F（0，1），所以可设直线A_nB_n的方程为y-1=k_nx，将它与抛物线x²=4y联立得

x²-4k_nx-4=0.

由一元二次方程根与系数的关系得x_ns_n=-4.

   (Ⅱ)对任意固定的n≥1，利用导数知识易得抛物线x²=4y在A_n处的切线的斜率=

故x²=4y在A_n处切线方程为

y-y_n=(x-x_n),       ①

类似地，可求得x²=4y在B_n处的切线方程为

y-t_n=（x-s_n）.   ②

由②减去①得

y_n-t_n=-

从而         

     ③

将③代入①并注意x_ns_n=-4得交点C_n的坐标为（，－1）.

由两点间的距离公式得

|FC_n|²=

                =

从而          |FC_n|-

现在x_n=2ⁿ.利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，

|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|